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こんにちは！ほけきよです。 皆さん、πを知っていますか？？あの3.14以降無限に続く円周率です。 昔、どこかのお偉いさんが「3.14って中途半端じゃね？www3にしようぜ」 とかいって一時期円周率が3になりかけました。でもそれは円じゃなくて六角形だからだめです。 乱数を10回，100回，1000回，・・・と10倍ずつ変え，πの近似値を 計算・表示することと、最大でも1億回程度にとどめておくことをふまえてjavaのプログラムを作っていたのですが package jp.名前.topic10;import java.util.Random;public １０ x １０の小正方形に分割した場合、円の一部である小正方形を全て赤く塗りつぶしたものが下の図になります。点が円内に存在するかどうかは、「円の中心」と「点」との距離によって判断することができます。１つ目に紹介する方法はこの「均等に配置した点の数の比から求める」方法です。これより「半径 * 半径」は、一辺の長さを「半径」とした時の正方形の面積ということになりますね。下記のスクリプトは tkinter を利用して点が配置されていく様子を可視化したものです。つまり、円に接する正方形の面積に対する円の面積の４倍の値が円周率であると言えます！点の数が増えるほど赤色で示される図形が円に近づき、円周率も 3.14159… に近づいていく様子がわかると思います。ですので、「半径 * 半径」は下の図の青色部分の面積となります。今回はプログラミングで円周率を求める方法について解説しました。円の中心座標を (0, 0) とすれば、下記のようにピタゴラスの定理そのままで求められるので楽です。さらに点の座標を (a, b) とし、円の中心座標を (i, j) とすれば各座標と斜辺の長さ c は下の図のような関係になります。解説が長くなってしまいましたが、ここで均等に配置した点の数の比から円周率を求めるプログラムを紹介したいと思います。特に数学とプログラミングは相性が良いので、数学で習ったことを生かしてプログラミングしてみると、数学がより楽しくなりますし、プログラミングも楽しめますのでオススメです！上の図の例の場合、円の内側に存在する点は８つなので、円周率は下記の式で “3.2” として求まることになります。より円の形に近い 100 x 100 に分割した場合の方が、円周率がより正確に求められます。あくまで求められるのは円周率の近似値になりますが、自分で円周率を求めることができるので特に数学が好きな方には楽しめると思います！円周率を使わずに、いかにしてこの２つの面積の比を求めるかが円周率を求めるポイントだよ！© 2020 だえうホームページ All rights reserved.円に接する正方形内の「どの位置にも等しい確率」で点がランダムに配置されるとすれば、円の内側には全ての点のうち「円の面積 / 円に接する正方形の面積」の割合で点が配置されるはずですので、これを利用して円周率を求めています。そして、その発生した乱数を円に接する正方形内の座標とし、そこに点を配置する考え方でプログラムを組んでいます。こんな感じで、乱数を用いてなんらかの値を見積もる方法を「モンテカルロ法」と呼びます。半径と円周率を用いて下記のようにして円の面積を求めることができます。ただし、ランダムに配置するので必ず点の配置には偏りが発生します。つまり、円周率は下の図のように、２つの面積の比によって求めることができるというわけです！ただし、今回の方法では点の配置はランダムに行います。ここだけ「均等に配置した点の数の比から求める」と異なります。今回はプログラミングで円周率を求める方法について解説していきたいと思います！ただし、「一辺の長さを円の半径とした正方形の面積」と「円の面積」の比と言われてもちょっと直感的には分かりにくいですね…。ですので、円の面積と、その円に接する正方形の面積から下記のように求めることができます。実際の円周率は 3.14159265359… らしいので少数第４桁目までは正確に求められていますね！プログラミングやパワサカに興味のある方、フォローしていただけると大変嬉しいですこの偏りは配置する点の数を多くすることで解消することができますので、より正確な円周率を求めるためには、より多くの点を配置する必要があります。基本的な考え方は、最初に紹介した「均等に配置した点の数の比から求める」と同じです。多分方法はたくさんあります。数学の知識を使ってより精度高く比を求める方法もあると思いますが、今回は単純な下記の２つの方法で比を求めたいと思います。正方形は小さく分割すればするほど（点の数が多ければ多いほど）、赤く塗った時の円の形が「より円に」近づくよまずこの方法でやることは、円に接する正方形を同じサイズの小さな正方形に分割することです（この分割した正方形を以降では “小正方形” と呼ばせていただきます）。この方法のいいところは、点を配置すればするほど求めた円周率が本当の円周率に近づいていくところが確認できるところだと思います。円周率を求める式なのに円周率使って円の面積求めたら意味ないよね…「モンテカルロ法で円周率を求める問題」はプログラミングの学習でもよく取り上げられるテーマですので、この機会にしっかり理解しておきましょう！ただし、分割すればするほどループの回数が増えるので、計算時間は増えることになります。これは「一辺の長さを円の半径とした正方形の面積」を１とした時の「円の面積」の大きさが「円周率」であることを示す式ですね！さらに、円に接する正方形に関しては下記の式で求めることができます。これを「円の中心」と「点」に当てはめてみましょう。まず斜辺の長さ c は円の中心と点との距離になります。そして、「均等に配置した点の数の比から求める」と同様にその比から円周率を計算します。赤色の点は円の内側に配置された点で、灰色の点は円の外側に配置された点です。ピタゴラスの定理によると、直角三角形における斜辺の長さ c とその他の辺の長さ a と b の間には下記の等式が成立します。「円の面積」と「円に接する正方形の面積」の比を求めるのにどのような方法が思いつきますか？これによって求まる距離（斜辺の長さ）が、円の半径以下であれば、円の内側に点が存在すると判断できますし、円の半径を超えるのであれば円の外側に存在すると判断することができます！「こんなことが知りたい！」「ここが分からない！」などありましたら、Twitterもしくは本サイトにコメントいただければ、（極力）解説ページ作ります!円周率って単純に 3.14 だと思い込んで使ってたけど、こんな感じで考えると面白いね！この円周率の求め方では正方形をより小さく分割した分、より精度の高い円周率を求めることができます。これは、小さく分割したほうが、円の内側とみなした点の小正方形から構成される円の形がより円に近づくためです。円周率の求め方はたくさんありますが、今回紹介する求め方はかなり直感的に理解しやすい方法になると思います。円に接する正方形内にランダムに点を複数配置し、その配置した点の位置から「円の内側に存在する点の数」と「円に接する正方形内の全ての点の数」の比を求めます。この左上の点は円に接する正方形内に「均等に離されて配置」されています。この時、円の面積は下の式によって近似的に求めることができます。円周率 = 3.14 とだけ覚えている方も多いと思いますが、円周率はこんな感じでプログラミングにより求めることができます。つまり、円周率は下記により計算することができます（分子分母共に存在する「小正方形のサイズ」は約分により消しています）。使用するプログラミング言語は Python ですが、円周率を求めるだけであればどのプログラミング言語でも求めることが可能です。両方とも簡単なプログラムを作成することで、比を求めることができます！この円に接する正方形は、一辺の長さを円の半径とした正方形が４つ集まった正方形ですので、円に接する正方形の面積は一辺の長さを円の半径とした正方形の面積の４倍になります。下の図であれば、赤色の点を左上とする小正方形が円の一部として考えられます。一辺の長さを「半径」とした正方形の面積を用いて下記のように書き換えることができます。例えば上の図の場合はランダムに１０個の点を配置した結果になります。次にもう一つの方法である「ランダムに配置した点の数の比から求める」について解説していきます。当サイトではここで使用した tkinter についても解説していますので、こちらに興味のある方はぜひ下記カテゴリページも見てみてください！例えば 10 x 10 に分割した場合と、100 x 100 に分割した場合とでは円の形が下記のように変わります。先ほど説明したように、円周率は下の式により求めることができます。下記は私が配置する点を増やしながら、求まる円周率がどのように変化するかを実際に試してみた結果です。ちょっとずつ “3.14159…” に近づいている様子がわかると思います。さっき見せてくれた赤色の円、形が歪すぎるけどそれでも円周率は正しく求まるの？そして、この点が中心を原点とした円の内側に存在するかどうかを判断します。円の内側に存在している場合、その点の小正方形を「円の一部」として考えます。この時、ピタゴラスの定理より下記の式が成立することになります。円周率と聞くととりあえず “3.14” を思い浮かべ、この “3.14” がどのような値であるかは意識しないことも多いのでは無いでしょうか？ここで円の公式に出てきた「半径 * 半径」についてもう一段階掘り下げて考えてみましょう！もう少し直感的に分かるように、円に接する正方形について考えたいと思います。しかもプログラミングができれば、この円周率をプログラムで求めることができるよ！円に接する正方形内に点を配置し、「円の内側に存在する点の数」と「円に接する正方形内の全ての点の数」の比によって円周率を求めます。つまり「円の面積」と「円に接する正方形の面積」が分かれば、あとは上の式に当てはめて計算してやれば円周率が求まります。割と円周率 “3.14159…” に近い値が求められていることが確認できると思います。 円周率の求め方. まずは円周率の求め方について整理していきたいと思います。 円周率と聞くととりあえず “3.14” を思い浮かべ、この “3.14” がどのような値であるかは意識しないことも多いのでは無いで … ここでは乱数を使って（モンテカルロ法を使って）、円周率を求めてみましょう。 ここではrand関数を使って乱数を生成します。rand関数を使ったことがない方は、まずはこちらをご覧ください。 乱数の生成 - rand関数 乱数の生成 - srand関数 サンプルプログラム 無事円周率っぽい値が出ました。 この円の近似方法ははモンテカルロ法といいます。円周率を求める方法は他にもライプニッツの公式ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム等々様々なものがありますので、是非プログラムに落とし込んで実行してみてください。 まずは円周率の求め方について整理していきたいと思います。 円周率と聞くととりあえず “3.14” を思い浮かべ、この “3.14” がどのような値であるかは意識しないことも多いのでは無いで … 1万桁まで; 連分数; 近似値. 円周率の記憶. それでは、この連分数を計算してみることにします。まず、計算法その1により計算してみます。連分数の第n近似分数を とすると、円周率は により求められます。漸化式は、初項を. 円周率の真値は,3.1415926535・・・だそうですので、精度としては、（長半径1の時）、 0.0001の位までだと分かります。 なぜ、1000箇所に区切ったのかというと、それ以上は、タイムアウトで計算できなかったなどの問題があったからです。 記憶桁数の記録; 覚え方. 円周率の値. 円周率計算記録.